Casse-tête n°3 : une moyenne bien entourée
On m'a récemment suggéré un joli problème tiré des OIM 2014 qui ont eu lieu le 8 juillet dernier. L'énoncé est le suivant :
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Soit 
une suite infinie d'entiers strictement positifs.
Prouver qu'il existe un unique entier 
tel que
![\[a_n<\frac{a_0+a_1+...+a_n}{n}\le a_{n+1}\]](https://www.kevinpolisano.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b6703b98796acc6eb1c9c023544c93e2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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J'ai cherché en vain une jolie solution géométrique en réécrivant le problème comme suit :
![\[na_n<a_0+a_1+...+a_n\leq na_{n+1}\]](https://www.kevinpolisano.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4778cc03d849898d5101c9a20cbc2d9e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
en voyant les 
comme des rectangles de largeur 1 et de hauteur 
, et 
le "gros rectangles" qui les englobent.
Cette écriture m'a ensuite suggéré de retrancher 
fois le 
(comme on fait souvent pour démontrer Césaro en redistribuant une valeur sur chacun des termes) :
![\[0<a_0+(a_1-a_n)+(a_2-a_n)+...+(a_{n-1}-a_n)\le n(a_{n+1}-a_n)\]](https://www.kevinpolisano.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3cb9c454a5932b9202f5f8daf65bf44d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Mais là ça me plaisait moyen parce que les termes 
étaient négatifs (puisque la suite est strictement croissante). Qu'à cela ne tienne on les vire de l'autre côté des inégalités :
![\[(a_n-a_1)+(a_n-a_2)+...+(a_n-a_{n-1})<a_0\]](https://www.kevinpolisano.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d98c7b8021d784caf25fe7667d16dd03_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[a_0\le (a_n-a_1)+(a_n-a_2)+...+(a_n-a_{n-1})+ n(a_{n+1}-a_n)\]](https://www.kevinpolisano.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cad21cf5d9349906a40dcef0152dbf3c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Bon et là je pensais faire intervenir une suite auxiliaire croissante et espérer voir apparaître un truc intéressant de part et d'autre, mais non 😀
Pourtant je sentais qu'il y avait de l'idée en reformulant le problème par l'encadrement de la valeur 
avec une suite croissante... Alors je refais marche arrière, et cette fois-ci ce n'est pas les que je déplace, mais les 
:
![\[na_n<a_0+a_1+...+a_n\le na_{n+1}\Leftrightarrow na_n-\sum_{k=1}^na_k<a_0\le na_{n+1}-\sum_{k=1}^{n}a_k\]](https://www.kevinpolisano.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97d73f628d3bc0cbe5a4820d08975023_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
A gauche on peut faire sauter un des puisqu'il s'annule avec celui de la somme :
![\[(n-1)a_n-\sum_{k=1}^{n-1}a_k<a_0\le na_{n+1}-\sum_{k=1}^{n}a_k\]](https://www.kevinpolisano.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e2872ea6a572cd7b59a0ca3e648035a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
C'est maintenant qu'on fait rentrer les dans la somme ! 🙂
![\[\sum_{k=1}^{n-1}(a_n-a_k)<a_0\le \sum_{k=1}^{n}(a_{n+1}-a_k)\]](https://www.kevinpolisano.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5515e77688f36fbaf6b237bdf7d9e003_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ca y est on tient le bon bout ! Si je note 
alors on a :
![\[b_n<a_0\le b_{n+1}\]](https://www.kevinpolisano.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4440de7c907df312645251833612200_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Une fois le problème reformulé via cette suite auxiliaire, la résolution devient très simple :
En effet puisque la suite 
est strictement croissante, on a :
![\[\begin{array}{rcl}b_{n+1}-b_n&=&\sum_{k=1}^{n}(a_{n+1}-a_k)-\sum_{k=1}^{n-1}(a_n-a_k)\\ &=&a_{n+1}-a_n+\sum_{k=1}^{n-1}[(a_{n+1}-a_k)-(a_{n}-a_k)]\\ &=& a_{n+1}-a_n+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{n+1}-a_n)\\ &=& n(a_{n+1}-a_n)>0\end{array}\]](https://www.kevinpolisano.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-82702767c368b875c3746999805ee347_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Donc la suite d'entiers naturels 
est strictement croissante également, avec pour premier terme 
.
Ainsi une fois l'entier 
fixé, il existe un unique rang tel que
CQFD.
Belle démonstration, mais la suite (b_n) est définie pour n>=2, donc il y a un problème avec b_1 ?
Merci!
Dans ce cas il suffit de prendre pour définition de b_n la ligne du dessus, c’est-à-dire avant de faire sauter le a_n.