Casse-tête n°1 : la pizza

par Kévin Polisano · Publié 13 mai 2013 · Mis à jour 29 décembre 2016

C'est pas de la tarte !

Enoncé :

Lorsque l'on mange pizza entre amis, nous apprécions goûter un petit morceau de la pizza de chacun. C'est pourquoi j'ai l'habitude sur ma part de pizza de rayon $r=OB$ de 16 cm, de découper parallèlement à $[OB]$ une "bande" d'épaisseur $e<r$ de 3 cm. Après avoir donné cette partie à un ami, il me reste donc une sorte de nouveau secteur angulaire $MAC$ . J'ai mesuré la différence de longueur entre les côtés $MC$ et $MA$ : $d=MC-MA$ qui est de 2 cm.

Question : quel est l'angle $\alpha=AOB$ de la part initiale ?

Solution :

Les résultats qui vont suivre peuvent être vérifier "à la main" avec la simulation geogebra ci-dessous :

Télécharger la simulation geogebra

On cherche dans un premier temps à exprimer la différence de longueur $\color{orange}{d=MC-MA}$ quand l'angle $\color{green}{\alpha=AOB}$ varie, avec $r$ et $e$ fixés.

1. Calcul de la longueur MA

Soit $D$ le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(OB)$ . On a par définition $DM=e$ . La trigonométrie nous donne $\sin(\alpha)=\frac{DM}{OM}$ soit $OM=\frac{e}{\sin(\alpha)}$ . Il s'en suit que :

$MA=OA-OM=r-\frac{e}{\sin(\alpha)}$

2. Calcul de la longueur MC

Soit maintenant $F$ le projeté orthogonal de $O$ sur $(MC)$ . On a alors $MC=FC-FM$ . Par le théorème de Pythagore $OC^2=OF^2+FC^2$ d'où $FC=\sqrt{r^2-e^2}$ . Ensuite $FM=OD=\frac{e}{\tan(\alpha)}$ , donc

$MC=\sqrt{r^2-e^2}-\frac{e}{\tan(\alpha)}$

3. Etude de la fonction $d(\alpha)=MC-MA$

La fonction a étudier est la suivante :

$d(\alpha)=\left(\sqrt{r^2-e^2}-\frac{e}{\tan(\alpha)}\right)-\left(r-\frac{e}{\sin(\alpha)}\right)$

ou écrit autrement :

$d(\alpha)=e\left(\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right)+(\sqrt{r^2-e^2}-r)$

On remarque que l'étude s'effectue sur l'intervalle $[\alpha_{min},\alpha_{max}]$ où :

$\left\{\begin{array}{l}\alpha_{min}=\arcsin\left(\frac{e}{r}\right)\\\alpha_{max}=\pi-\arcsin\left(\frac{e}{r}\right)\end{array}\right.$

En effet quand $B$ se rapproche de $A$ , l'angle limite pour lequel on conserve une distance $DM=e$ est lorsque le point $M$ est confondu avec $A$ , dans ces conditions $\sin(\alpha_{min})=\frac{AD}{OA}=\frac{e}{r}$ . On a la même chose symétriquement pour $\alpha_{max}$ .

On dérive la fonction et on obtient :

$d'(\alpha)=e\frac{sin(\alpha)^2-(1-\cos(\alpha))\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)^2}=e\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)^2}=\frac{e}{1+\cos(\alpha)}$

Comme $\cos(\alpha)$ est compris entre $-1$ et $1$ alors $d'(\alpha)>0$ sur l'intervalle $[\alpha_{min},\alpha_{max}]$ et ainsi la fonction $d$ est continue strictement croissante sur cet intervalle. $d$ est une bijection de $[\alpha_{min},\alpha_{max}]$ dans $[d(\alpha_{min}),d(\alpha_{max})]=[0,2\sqrt{r^2-e^2}]$ .

On constate alors, en vertu de la croissance et du fait que $d(\alpha_{min})=0$ , que $d(\alpha)$ reste toujours positive sur l'intervalle $[d(\alpha_{min}),d(\alpha_{max})]$ c'est-à-dire que le côté $MC$ est toujours supérieur au côté $MA$ . On remarque également que le point $M$ , initialement confondu avec $A$ , décroît sur l'axe des abscisses jusqu'à la position d'abscisse $r-e$ atteinte pour $\alpha=\frac{\pi}{2}$ , puis croît de nouveau pour atteindre le point $A$ lorsque $\alpha=\alpha_{max}$ .

4. Inversion de l'équation $d(\alpha)=C$

On sait d'après ce qui précède que si $C\in [0,2\sqrt{r^2-e^2}]$ alors l'équation $d(\alpha)$ admet une unique solution $\alpha_C$ . Nous allons maintenant expliciter cette solution en reprenant l'expression initiale de $d(\alpha)$ .

En posant $t=tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ on a $\sin(\alpha)=\frac{2t}{1+t^2}$ et $\tan(\alpha)=\frac{2t}{1-t^2}$ d'où :

$d(\alpha)=\left(\sqrt{r^2-e^2}-\frac{e(1-t^2)}{2t}\right)-\left(r-\frac{e(1+t^2)}{2t}\right)=et+\sqrt{r^2-e^2}-r$

Par conséquent on a :

$d(\alpha)=C\Leftrightarrow et+\sqrt{r^2-e^2}-r=C\Leftrightarrow t=\frac{C+r-\sqrt{r^2-e^2}}{e}$

Finalement on en conclut que :

$\color{green}{\alpha_C=2\arctan\left[\frac{C+r-\sqrt{r^2-e^2}}{e}\right]}$

Applications numériques :

Ma pizza a un rayon $r$ de 16 cm, je coupe une "bande" d'épaisseur $e$ de 3 cm. Je mesure la différence de longueur $C$ entre les côtés $MC$ et $MA$ qui est de 2 cm. On trouve alors un angle initial $\color{green}{\alpha_C\approx 74,56^{\circ}}$ . On peut le vérifier sur la simulation geogebra (l'utilisateur faisant varier le point $B$ sur le cercle).